청소 당번이나 커피 내기를 제비뽑기로 정할 때면 꼭 이런 말이 나와요. "먼저 뽑는 사람이 유리하지 않아?" 혹은 반대로 "앞사람들이 꽝을 다 뽑아 주면 마지막이 제일 위험하잖아." 둘 다 그럴듯하게 들리지만, 카드를 제대로 섞고 뽑은 카드를 다시 넣지 않는 보통의 제비뽑기라면 답은 하나예요. 몇 번째로 뽑든 당첨될 확률은 똑같아요.

5장 중 1장이 당첨일 때, 차례대로 계산해 보기

5명이 당첨 1장, 꽝 4장이 섞인 제비를 한 장씩 뽑는다고 해 볼게요. 첫 번째 사람이 당첨될 확률은 당연히 5분의 1이에요.

두 번째 사람이 당첨되려면 두 가지가 다 일어나야 해요. 첫 번째 사람이 꽝을 뽑고(5분의 4), 남은 4장 중에서 당첨을 뽑아야(4분의 1) 하죠. 둘을 곱하면 4/5 × 1/4 = 1/5예요. 세 번째 사람도 앞의 두 사람이 모두 꽝을 뽑고 남은 3장 중 당첨을 뽑아야 하니 4/5 × 3/4 × 1/3 = 1/5가 돼요. 분자와 분모가 차례로 지워지면서 매번 5분의 1만 남아요.

차례	당첨되려면	확률
1번째	1/5	20%
2번째	4/5 × 1/4	20%
3번째	4/5 × 3/4 × 1/3	20%
4번째	4/5 × 3/4 × 2/3 × 1/2	20%
5번째	4/5 × 3/4 × 2/3 × 1/2 × 1/1	20%

더 쉬운 설명: 미리 나눠 주고 동시에 펴는 것과 같아요

계산 없이도 알 수 있는 방법이 있어요. 제비를 잘 섞은 다음 5명에게 한 장씩 나눠 주고, 다 같이 동시에 펴 본다고 생각해 보세요. 이때는 누구도 유리하지 않다는 게 분명하죠. 당첨 제비가 5개 자리 중 어디에 들어갈지는 섞을 때 이미 정해졌고, 모든 자리가 똑같이 가능해요.

차례로 한 장씩 뽑는 것도 사실 이것과 같아요. 펴는 시간만 다를 뿐, 각자 손에 들어오는 제비는 섞인 순서대로 정해지니까요. 확률론에서는 이런 성질을 교환 가능성(exchangeability)이라고 불러요. 뽑는 순서를 바꿔도 결과의 확률 분포가 변하지 않는다는 뜻이에요.

"앞사람이 꽝을 뽑으면 확률이 오르잖아요?"

맞는 말이에요. 첫 번째 사람이 꽝을 뽑는 걸 보고 나면 두 번째 사람의 확률은 4분의 1(25%)로 올라가요. 그런데 첫 번째 사람이 당첨을 뽑을 수도 있었다는 점을 같이 봐야 해요. 그러면 두 번째 사람의 확률은 0이 되거든요.

뽑기 전에는 어느 쪽이 될지 모르니 두 경우를 함께 따져야 해요. 5분의 4 확률로 25%가 되고, 5분의 1 확률로 0%가 되니, 평균하면 4/5 × 1/4 + 1/5 × 0 = 1/5이에요. 앞사람의 결과를 보고 나면 확률이 오르거나 내려가지만, 뽑기 전에 자리를 고르는 시점에서는 어느 자리든 같아요. "마지막이 제일 위험하다"는 느낌도 같은 이유로 생겨요. 마지막까지 당첨이 안 나온 경우만 기억에 남기 때문이에요.

100만 번 뽑아 보면

숫자로도 확인해 봤어요. 당첨 1장과 꽝 4장을 무작위로 섞어 5명이 차례로 뽑는 시뮬레이션을 100만 번 돌리고, 몇 번째 사람이 당첨됐는지 셌어요.

1번째	2번째	3번째	4번째	5번째
20.06%	19.96%	19.97%	19.96%	20.06%

당첨이 여러 장이어도 마찬가지예요. 7장 중 2장이 당첨이라면 몇 번째로 뽑든 당첨 확률은 7분의 2, 약 28.6%예요. 당첨 장수가 몇 개든, 각 자리에 당첨이 놓일 확률이 모두 같다는 원리는 그대로예요.

순서가 정말 중요해지는 경우

순서와 상관없다는 결론에는 조건이 있어요. 아래 경우에는 순서가 결과를 바꿀 수 있어요.

• 뽑은 걸 다시 넣고, 누가 걸리면 끝낼 때: 예를 들어 5명이 차례로 주사위를 굴려 처음 6이 나온 사람이 걸린다고 해 볼게요. 한 바퀴 돌아도 안 나오면 다시 처음부터 굴려요. 이때는 먼저 굴리는 사람이 걸릴 기회를 먼저 갖기 때문에, 차례대로 약 27.9%, 23.2%, 19.4%, 16.1%, 13.4%로 앞사람이 불리해요. 제비뽑기와 달리 매번 확률이 6분의 1로 같고, 누군가 걸리면 뒷사람은 굴릴 기회조차 없기 때문이에요.
• 중간에 규칙이 바뀔 때: 몇 명이 뽑은 뒤 남은 사람이 빠지거나, 꽝이 많이 나왔다고 다시 섞자고 하면 처음의 공정함이 깨져요. 시작하기 전에 규칙을 정해 두는 게 좋아요.
• 제대로 섞이지 않았을 때: 접은 모양이 다르거나, 당첨 쪽지를 맨 위에 넣고 대충 흔들었다면 순서가 영향을 줄 수 있어요. 공정함은 결국 섞는 과정에서 나와요.

골라줘의 제비뽑기는

골라줘의 당첨·꽝 카드는 카드를 섞는 순간 모든 카드의 자리가 정해져요. 섞을 때는 브라우저의 암호학적 난수와 피셔–예이츠 셔플을 써서 모든 배치가 같은 확률로 나오게 했어요. 그래서 어느 카드를 먼저 누르든, 몇 번째로 고르든 결과에 영향을 주지 않아요. 한 대의 휴대폰을 돌려 가며 한 장씩 고르면 위에서 설명한 진짜 제비뽑기와 똑같아요.

정리

제비를 잘 섞고 뽑은 제비를 다시 넣지 않는다면, 먼저 뽑든 나중에 뽑든 당첨 확률은 같아요. 앞사람의 결과를 보면 확률이 오르거나 내려가는 것처럼 느껴지지만, 뽑기 전에 자리를 고르는 순간에는 모두 같은 기회예요. 순서를 두고 다툴 시간에 섞는 과정을 꼼꼼히 하는 쪽이 훨씬 공정해요.

참고 자료

• 제비뽑기, 위키백과
• Exchangeable random variables, Wikipedia
• Hypergeometric distribution, Wikipedia
• Fisher–Yates shuffle, Wikipedia
• Crypto.getRandomValues(), MDN Web Docs

함께 읽어 보세요: 사다리타기는 정말 공정할까, 컴퓨터가 뽑는 랜덤은 정말 랜덤일까

골라줘에서 제비뽑기 하기

Whenever lots are drawn for cleaning duty or who buys coffee, someone asks: "Isn't it better to draw first?" Or the opposite: "If everyone ahead takes the blanks, the last person is in the most danger." Both sound reasonable, but for an ordinary draw, where the lots are properly shuffled and nobody puts theirs back, there is one answer. Whichever turn you take, your chance of winning is the same.

One winner in five, turn by turn

Say five people draw in turn from one winning lot and four blanks. The first person wins with probability 1/5.

For the second person to win, two things must happen: the first person draws a blank (4/5), and then the second draws the winner from the four left (1/4). Multiply them and you get 4/5 × 1/4 = 1/5. The third person needs the first two to draw blanks and then to pick the winner from three: 4/5 × 3/4 × 1/3 = 1/5. The numerators and denominators cancel each time, leaving 1/5.

Turn	To win	Chance
1st	1/5	20%
2nd	4/5 × 1/4	20%
3rd	4/5 × 3/4 × 1/3	20%
4th	4/5 × 3/4 × 2/3 × 1/2	20%
5th	4/5 × 3/4 × 2/3 × 1/2 × 1/1	20%

An easier way: hand them out and open together

There is a way to see this without any arithmetic. Shuffle the lots, give one to each of the five people, and have everyone open theirs at the same moment. Clearly nobody has an advantage. Which of the five positions the winner went into was decided by the shuffle, and every position is equally likely.

Drawing one at a time is really the same thing. Only the moment of opening differs; the lot each person gets is still fixed by the shuffled order. Probability theory calls this exchangeability: changing the order of the draws does not change the probability distribution of the result.

"But the odds go up when the person before me draws a blank"

True. Once you see the first person draw a blank, the second person's chance rises to 1/4 (25%). But the first person might also have drawn the winner, and then the second person's chance would be zero.

Before anyone draws you do not know which will happen, so you have to weigh both. With probability 4/5 it becomes 25%, with probability 1/5 it becomes 0%, and on average that is 4/5 × 1/4 + 1/5 × 0 = 1/5. After you see earlier results, your odds go up or down, but at the moment you choose a position, every position is the same. The feeling that "last is the most dangerous" comes from the same place: the times the winner is still left at the end are the ones we remember.

A million draws

We checked the numbers too: one winner and four blanks shuffled at random, five people drawing in turn, a million times, counting which turn won.

1st	2nd	3rd	4th	5th
20.06%	19.96%	19.97%	19.96%	20.06%

The same holds with several winners. If two of seven lots win, every turn has a 2/7 chance, about 28.6%. However many winning lots there are, each position is equally likely to hold one.

When order really does matter

The conclusion has conditions. In these cases order can change the outcome.

• Replacing what you draw and stopping at the first hit: say five people take turns rolling a die and the first to roll a 6 is "it", going round again if nobody does. Whoever rolls first gets the first chance to be caught, so the odds by turn are about 27.9%, 23.2%, 19.4%, 16.1% and 13.4%. Unlike lots, each roll has the same 1/6 chance, and once someone is caught the rest never roll.
• Changing the rules midway: if people drop out after a few draws, or someone asks to reshuffle because too many blanks came out, the original fairness is gone. Agree on the rules before starting.
• Poor shuffling: if the lots are folded differently, or the winning slip went in on top and was barely shaken, order can matter. Fairness comes from the shuffle.

How Pick draws lots

In Pick's (골라줘) win-or-blank cards, every card's position is fixed the moment the cards are shuffled. The shuffle uses the browser's cryptographic random numbers and a Fisher–Yates shuffle, so every arrangement is equally likely. Which card you tap first, or which turn you take, makes no difference. Passing one phone around and letting each person pick a card works exactly like the real draw described above.

Summary

If the lots are shuffled well and not put back, drawing first or last gives the same chance. Seeing earlier results makes your odds seem to rise or fall, but at the moment you pick a position, everyone has the same chance. Rather than arguing over the order, spend the effort on a proper shuffle.

Sources

• 제비뽑기 (Drawing lots), Korean Wikipedia
• Exchangeable random variables, Wikipedia
• Hypergeometric distribution, Wikipedia
• Fisher–Yates shuffle, Wikipedia
• Crypto.getRandomValues(), MDN Web Docs

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Draw lots in Pick